: Cho lăng trụ ABC.A’B’C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a√3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa đường thẳng AA’ và đường thẳng B’C’? Giúp mình vs ạ

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Gọi H là trung điểm BC

=>A'H ⊥(ABC) , AH=1/2BC=1/2 √a^2+3a^2=a

Do đó A'H^2=A'A^2-AH^2=3a^2=>A'H=a √3

Vậy A'ABC=1/3A'H.S ΔABC=a^2/2

trong Δvg A'B'H có:

HB'= √A'B'^2+A'H^2=2a

=> ΔB'BH cân tại B

Đặt ∝ là góc giữa 2 đg thẳng AA' và B'C'thì ∝=góc B'BH

Vậy cos ∝=a/a.2a=1/4

a) $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC$

$=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

$\Delta ABC\bot A\Rightarrow AH=\dfrac{BC}{2}$

$=\dfrac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{2}$

$=\dfrac{\sqrt{a^2+3a^2}}{2}=a$

$\Delta $ vuông $AA'H$: $A'H^2=AA'^2-AH^2$

$=4a^2-a^2=3a^2$

$\Rightarrow A'H=a\sqrt3$

$\Rightarrow V_{A'ABC}=\dfrac{1}{3}A'H.S_{ABC}$

$=\dfrac{1}{3}a\sqrt3.\dfrac{a^2\sqrt3}{2}=\dfrac{a^3}{2}$

b) $\widehat{(AA',B'C')}=\widehat{(BB',BC)}=\widehat{B'BC}$

$\Delta A'B'H\bot A'$ có: $B'H^2=A'B'^2+A'H^2$

$=a^2+3a^2=4a^2$

$\Rightarrow B'H=2a=BB'$

$\Rightarrow \Delta BB'H$ cân đỉnh $B'$

$\Delta BB'H$ Gọi $I$ là trung điểm $BH$

$\Rightarrow BI=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}2a=\dfrac{a}{2}$

$\Delta B'BH$ vuông tại $H$

$\cos\widehat{B'BC}=\dfrac{BI}{BB'}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{2a}$

$=\dfrac{1}{4}$