cho lăng trụ abc a'b'c' đáy là tam giác đều cạnh đáy a. A' cách đều 3 điểm A,B,C. [AA';(ABC)]=60. Chứng minh B'C'CB là hình chữ nhật . tính Sxq
2 câu trả lời
Có $A'A=A'B=A'C$ nên $A'.ABC$ là chóp tam giác đều.
Gọi $I$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\to A'I\bot (ABC)$
$\to (AA',(ABC))=(AA',AI)=\widehat{A'AI}$
$AI=\dfrac{a\sqrt3}{3}\to AA'=\dfrac{AI}{\cos60^o}=\dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Gọi $G$, $K$ trung điểm $BC$, $B'C'$
$\Delta ABC$ đều nên $BC\bot AG$
Mà $AI\bot (ABC)\to BC\bot AI$
$\to BC\bot (A'GA)$
$\to BC\bot A'G$
Có $BCC'B'$ là hình bình hành nên $BC//B'C'$
Mà $A'K\bot B'C'$ nên $A'K\bot BC$
Suy ra $BC\bot (GA'K)$
$\to BC\bot GK$
Mà $GK//CC'$ nên $BC\bot CC'$
Vậy $BCC'B'$ là hình chữ nhật
Chu vi $\Delta ABC$: $3a$
Vậy $S_{xq}=3a.\dfrac{2a\sqrt3}{3}=2a^2\sqrt3$
Đáp án:
$S_{xq} = 2a^2\sqrt3$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$
$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Lại có: $A'A = A'B = A'C$
$\Rightarrow A'O\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(AA';(ABC))} = \widehat{AA'O} = 60^\circ$
$\Rightarrow AA' = \dfrac{OA}{\cos60^\circ} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Gọi $M,\ M'$ lần lượt là trung điểm $BC, B'C'$
$\Rightarrow MM'//BB'//CC'$
Ta có:
$\begin{cases}AM\perp BC\\A'O\perp BC\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (A'OM)$
hay $BC\perp (AA'M'M)$
$\Rightarrow BC\perp MM'$
$\Rightarrow BC\perp CC'$
$\Rightarrow \widehat{BCC'} = 90^\circ$
mà $BB'C'C$ là hình bình hành (mặt bên của lăng trụ)
nên $BB'C'C$ là hình chữ nhật
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: $AA'B'B$ và $AA'C'C$ là hình chữ nhật
Khi đó:
$S_{xq} = P_{ABC}.AA' = 3a\cdot \dfrac{2a\sqrt3}{3} = 2a^2\sqrt3$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
