Cho lăng trụ ABC .A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A AB= a AC= a√3 Hình chiêú vuông góc của A' la trung điểm H của BC A' H = a√3 .Tìm gíc giữa A'B và B'C

Đáp án: ∠(A'B;B'C) = arccos(√2/8)

Giải thích các bước giải:

Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = AB = a ⇒ B'D//A'B ⇒ ∠(A'B;B'C) = ∠(B'D;B'C) = ∠CB'D

Áp dụng đl hàm số cosin vào ΔB'CD ta có :

CD² = B'C² + B'D² - 2B'C.B'D.cos(CB'D)

⇒ cos(CB'D) = (B'C² + B'D² - CD²)/2B'C.B'D (*)

Tính B'C:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B' lên (ABCD) ⇒ B'K⊥KC hay ΔB'KC vuông tại K và HK//=A'B'//=AB = a ⇒ ABKH là hình bình hành

Mặt khác theo đề bài dễ tính ra : BC = 2a ⇒ AH = BC/2 = a = AB ⇒ ABKH là hình thoi ⇒ ΔKBC = ΔABC ⇒ KC = AC = a√3; B'K = AH = a√3

B'C² = B'K² + KC² = (a√3)² + (a√3)² = 6a² ⇒ BC = a√6 (1)

Tính B'D:

AH⊥(ABC) ⇒ΔA'HB vuông tại H; BH = BC/2 = a ⇒ A'B = 2a

A'B'DB là hình bình hành ⇒ B'D = A'B = 2a (2)

Tính CD:

ΔACD vuông tại A có AD = 2AB = 2a

CD² = AC² + AD² = (a√3)² + (2a)² = 7a² (3)

Thay (1); (2); (3) vào (*)

cos(CB'D) = (6a + 4a² - 7a²)/2(a√6)(2a) = √2/8

⇒ ∠(A'B;B'C) = ∠CB'D = arccos(√2/8)