Cho khối tứ diện ABCD có ABC và BCD là 2 tam giác đều cạnh a .Góc giữa 2 mp (ABC) và (BCD) bằng 60 dộ . Tính V của khối tứ diện ABCD theo a .Ai biết giúp em với khó quá

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Delta ABC$ và $\Delta BCD$ đều

$\Rightarrow AM\bot BC$ và $DM\bot BC$

$\Rightarrow \widehat{(ABC),(BCD)}=\widehat{(AM,DM)}$

$=\widehat{AMD}=60^o$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABM$ và $\Delta $ vuông $CDM$ ta có:

$AM^2=DM^2=CD^2-CM^2=a^2-(\dfrac{a}{2})^2=\dfrac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AM=DM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow \Delta AMD$ cân đỉnh $M$ có $widehat{AMD}=60^o$

$\Rightarrow \Delta AMD$ đều

Gọi $H$ là trung điểm của $MD$

$\Rightarrow AH\bot MD$ (1)

Ta có: $BC\bot AM$ và $BC\bot DM$

$\Rightarrow BC\bot(ADM)\Rightarrow AH\subset(ADM)$ sẽ $\bot BC$

$AH\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot (BCD)$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta AMH$ ta có:

$AH^2=AM^2-MH^2=(\dfrac{a\sqrt3}{2})^2-(\dfrac{a\sqrt3}{4})^2=\dfrac{9a^2}{16}$

$\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}$

$\Rightarrow V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}AH.S_{BCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{4}.\dfrac{1}{2}.a.a.\sin60^o=\dfrac{a^3\sqrt3}{16}$