Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 độ. Tính thể tích V của khối chóp đã cho

Ta có: $ABCD$ là hình vuông

$\Rightarrow AC = BD = BC\sqrt2$

Gọi $O=AC\cap BD$

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{BC\sqrt2}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow MO = MB = MC = \dfrac{1}{2}BC$ ($ΔOBC$ vuông cân tại $O$)

$\Rightarrow OM\perp BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$ ($ΔSBC$ cân tại $S$)

Ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABCD) = BC\\SM\perp BC;\, SM\subset (SBC)\\OM\perp BC;\, OM\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))} = \widehat{SMO} = 60^o$

$\Rightarrow SO = OM.\tan60^o = \dfrac{BC\sqrt3}{2}$

Do $SO\perp (ABCD)$

nên $SO\perp OB$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$SB^2 = SO^2 + OB^2 = \dfrac{3BC^2}{4} + \dfrac{BC^2}{2}$

$\Leftrightarrow a^2 = \dfrac{5BC^2}{4}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{2a\sqrt5}{5}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

Do đó:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{2a\sqrt5}{5}\right)^2\cdot\dfrac{a\sqrt{15}}{5} = \dfrac{4a^3\sqrt{15}}{75}$