Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB=2R, biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), (SBC) hợp với đáy (ABCD) một góc 45 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. 3R^3/4 B. 3R^3 C. 3R^3/6 D. 3R^3/2

Đáp án:

$A$

Giải thích các bước giải:

Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$

Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nên $OA=OB=OC=OD=AD=DC=BC=R$

Hình bình hành $OCED$ có $OC=OD=R$

$→ OCED$ là hình thoi $→ ED=EC=R$

$→ ΔABE$ là tam giác đều có cạnh $2R$

$→ AC$ là đường cao của $ΔABE$ hay $AC⊥BE$

Ta có:

$(SBC)∩(ABCD)=BC, AC⊥BC, SC⊥BC$ (do $BC⊥AC$ và $BC⊥SA$ nên $BC⊥(SAC) → BC⊥SC$)

$→$ Góc giữa $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^o$

Có $SA=AC=\dfrac{2R\sqrt[]{3}}{2}=R\sqrt[]{3}$ (đường cao trong tam giác đều)

Diện tích đáy là: $S_{ABCD}=\dfrac{3R^2\sqrt[]{3}}{4}$ (đvdt)

$→$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.R\sqrt[]{3}.\dfrac{3R^2\sqrt[]{3}}{4}=\dfrac{3R^3}{4}$ $(đvtt)$

Đáp án:

$A. \, \dfrac{3R^3}{4}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là trung điểm $AB$

Do $ABCD$ là nửa lục giác đều

nên $OA = OB = OC = OD  = BC = CD = DA = R$

$S_{ABCD} = 3S_{AOD} = \dfrac{3R^2\sqrt3}{4}$

Ta có:

$OA = OB = OC$

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC\perp BC$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SB^2= AB^2 + SA^2 = 4R^2 + SA^2$

$SC^2 = AC^2 + SA^2 = \underbrace{AB^2 - BC^2}_{AC^2} + SA^2 = 3R^2 + SA^2$

$BC^2 = R^2$

Ta thấy: $SB^2 = SC^2 + BC^2$

$\Rightarrow ∆SBC$ vuông tại $C$ (Theo định lý Pytago đảo)

$\Rightarrow SC\perp BC$

Ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABCD) = BC\\SC\subset (SBC)\\SC\perp BC\, (cmt)\\AC\subset (ABCD)\\AC\perp BC\, (cmt)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))} = \widehat{SCA} = 45^o$

$\Rightarrow SA = SC = R\sqrt3$

Do đó:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3R^2\sqrt3}{4}.R\sqrt3 = \dfrac{3R^3}{4}$