Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=a√3. SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa SB với mặt phẳng (SAC) bằng 30 độ. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt[]{6}}{3}$ (đvtt)

Giải thích các bước giải:

Kẻ $BH⊥AC$, vì $BH⊥SA$ nên $BH⊥(SAC)$

Hình chiếu của $S$ lên $(SAC)$ là $S$

Hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$ là $H$

→ Góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\widehat{HSB}=30^o$

Xét $ΔABC$ vuông tại $B$ có:

$\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{BC^2}$

$↔ \dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{3a^2}$

$↔ \dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{4}{3a^2}$

$→ BH=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}$

Xét $ΔHSB$ vuông tại $H$ có:

$SH=BH.\cot\widehat{HSB}$

$=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}.\cot30^o$

$=\dfrac{3a}{2}$

Áp dụng định lí $\text{Py-ta-go}$ vào $ΔAHB$, ta có:

$AH=\sqrt[]{AB^2-BH^2}=\dfrac{a}{2}$

Áp dụng định lí $\text{Py-ta-go}$ vào $ΔSAH$, ta có:

$SA=\sqrt[]{SH^2-AH^2}=a\sqrt[]{2}$

Thể tích khối chóp là:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA$
$=\dfrac{1}{3}a.a\sqrt[]{3}.a\sqrt[]{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt[]{6}}{3}$ (đvtt)