Cho khối chóp SABcD có bcd là hình vuông cạnh a , Sa = a căn 3 vf sa vuông góc với đáy . tính Cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC Mọi người giúp mình bài này đc ko ak .

Đáp án:

 $\cos\widehat{(AC;SB)} = \dfrac{a\sqrt2}{4}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O = AC\cap BD$

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Gọi $I$ là trung điểm $SD$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $ΔSBD$

$\Rightarrow OI // SB; \,OI = \dfrac{1}{2}SB$

$\Rightarrow \widehat{(AC;SB)} = \widehat{(AC;OI)} = \widehat{AOI}$

Ta cũng có: $AI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $SD$

$\Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}SD$

Ta lại có: $SA \perp (ABCD)$

$AB = AD = a$

$\Rightarrow SB = SD$

$\Rightarrow OI = AI$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SB = 2a$

$\Rightarrow OI = AI = \dfrac{1}{2}SB = a$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$AI^2 = OI^2 + OA^2 - 2OI.OA.\cos\widehat{AOI}$

$\Rightarrow \cos\widehat{AOI} = \dfrac{OI^2 + OA^2 - AI^2}{2OI.OA} = \dfrac{OA}{2OI} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}}{2.a} = \dfrac{a\sqrt2}{4}$