cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 60 độ Vẽ hình giúp mình nha....

Đáp án:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{4a^3\sqrt{15}}{3} \, (đvtt)$

Giải thích các bước giải:

Kẻ $SH\perp AB\, (H \in AB)$

Ta có: $(SAB)\perp (ABCD)$ $(gt)$

$(SAB)\cap (ABCD) = AB$

$SH\subset (SAB)$

$SH \perp AB$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow HC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCH} = 60^o$

$\Rightarrow SH = HC.\tan60^o = HC\sqrt3$

Mặt khác: $∆SAB$ cân tại $S$ $(gt)$

Có $SH\perp AB$ (cách dựng)

$\Rightarrow HA = HB = \dfrac{AB}{2} = a$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$HC^2 = HB^2 + BC^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2$

$\Rightarrow HC = a\sqrt5$

$\Rightarrow SH = a\sqrt{15}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}.(2a)^2.a\sqrt{15} = \dfrac{4a^3\sqrt{15}}{3} \, (đvtt)$

Gọi $H$ là trung điểm $AB → SH⊥(ABCD)$

Ta có:

$HC=\sqrt[]{a^2+(2a)^2}=a\sqrt[]{5}$

Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $H$

Hình chiếu của $C$ lên $(ABCD)$ là $C$

$→$ Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCH}=60^o$

$→ SH=HC.tan60^o$

$=a\sqrt[]{5}.\sqrt[]{3}$

$=a\sqrt[]{15}$

Diện tích đáy là: 

$S_{đáy}=AB^2=4a^2$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V_{chóp}=\dfrac{1}{3}.4a^2.a\sqrt[]{15}=\dfrac{4a^3\sqrt[]{15}}{3}$.