Cho khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc vs mặt phẳng đáy. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SA bằng a và diện tích tam giác SBC bằng 3a²

Đáp án:

$V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Trong $mp(ABC)$ kẻ $AH\perp BC$

Ta có:

$\begin{cases}AH\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAH)$

$\Rightarrow BC\perp SH$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SH\perp BC\quad (cmt)\\SH\subset (SBC)\\AH\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\AH\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))}= \widehat{SHA} = 60^\circ$

$\Rightarrow \begin{cases}SH = \dfrac{SA}{\sin\widehat{SHA}} = \dfrac{a}{\sin60^\circ} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}\\AH = \dfrac{SA}{\tan\widehat{SHA}} = \dfrac{a}{\tan60^\circ} = \dfrac{a\sqrt3}{3}\end{cases}$

Mặt khác:

$BC\perp SH\quad (cmt)$

$\Rightarrow S_{SBC} = \dfrac12BC.SH$

$\Rightarrow BC = \dfrac{2S_{SBC}}{SH} = \dfrac{2\cdot 3a^2}{\dfrac{2a\sqrt3}{3}} = 3a\sqrt3$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac12BC.AH = \dfrac12\cdot 3a\sqrt3\cdot \dfrac{a\sqrt3}{3} = \dfrac{3a^2}{2}$

Ta được:

$\quad V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SA$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac13\cdot \dfrac{3a^2}{2}\cdot a = \dfrac{a^3}{2}$

Giải thích các bước giải:

 Theo đề bài kẻ $AH⊥BC$ cắt BC tại H

Như vậy AH là đường cao trong ΔABC

Áp dụng định lí 3 đường vuông góc trong ΔSAH với cạnh BC

$⇒BC⊥SH$

Như vậy:

$⇒\widehat{[(SBC);(ABC)]}=\widehat{[SH;AH]}=\widehat{SHA}=60^o$

Xét ΔSAH vuông tại A:

Áp dụng hệ thức lượng giác :

$⇒tan(60)=\frac{SA}{AH}\\⇒AH=\frac{a}{\sqrt3}$

Áp dụng pythagoras ta được:

$SH=\sqrt{SA^2+AH^2}=\frac{2a}{\sqrt3}$

Ta có công thức tính $S_{SBC}=\frac{1}{2}.SH.BC\\⇔3a^2=\frac{1}{2}.\frac{2a}{\sqrt3}.BC\\⇒BC=3a\sqrt3$

Như vậy ta có:

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.3a\sqrt3.\frac{a}{\sqrt3}.a=\frac{a^3}{2}$

#X