Cho $I_n=$$\int\limits {sin^nx} \, dx$ CMR:$I_n=-\frac{1}{n}sin^{n-1}xcosx+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

Đáp án:

Đối với Cho $I_n=$$\int\limits {sin^nx} \, dx$,ta có:
$I_0=$ $\int\limits {dx} \, =x+C;I_1=$ $\int\limits {sinx} \, dx=-cosx+C$
Với $n \geq 2$ ,đặt:
$\left \{ {{u=sin^{n-1}x} \atop {dv=sinxdx}} \right.$
$=>$ $\left \{ {{du=(n-1)sin^{n-2}xcosxdx} \atop {v=-cosx}} \right.$
$=>I_n=-sin^{n-1}xcosx+(n-1)$ $\int\limits {sin^{n-2}xcos^2xdx} \, dx$
$=-sin^{n-1}xcosx+(n-1)$ $\int\limits {sin^{n-2}x.(1-sin^2x)} \, dx$
$=-sin^{n-1}xcosx+(n-1)$ $\int\limits {sin^{n-2}xdx-(n-1)} \, $ $\int\limits {sin^n} \, dx$ 
$=-sin^{n-1}xcosx+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$
Từ đó:
$I_n=-\frac{1}{n}sin^{n-1}xcosx+\frac{n-1}{n}I_{n-2}(đpcm)$

Chúc bạn học tốt đạt kết quả cao!!!