Cho hs y=x^3+mx^2+4x+3 tìm m để đt đi qua 2 điểm cực trị của đths đi qua M(0;-1/9)

Ta có: $y'=3x^2+2mx+4$

Lấy $y$ chia cho $y'$, ta được:

$x^3+mx^2+4x+3=(3x^2+2mx+4)(\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}m)+(\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{9}m^2)x+3-\dfrac{4}{9}m$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ĐTHS là:

$y=(\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{9}m^2)x+3-\dfrac{4}{9}m$ $(d)$

Vì $(d)$ đi qua $M(0;-\dfrac{1}{9})$ nên ta có:

$-\dfrac{1}{9}=3-\dfrac{4}{9}m$

$↔ \dfrac{4}{9}m=3+\dfrac{1}{9}$

$↔ m=7$

Vậy $m=7$ là giá trị thỏa mãn đề bài.

Đáp án:

$m = 7$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 + mx^2 + 4x + 3$

$TXĐ: D= R$

$y' = 3x^2 + 2mx + 4$

Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y'$ ta được:

$y = \left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{9}m\right).y' + \left(4\dfrac{8}{3}- \dfrac{2}{9}m^2\right)x + 3 - \dfrac{4}{9}m$

$\Rightarrow (d): \, y = \left(\dfrac{8}{3} - \dfrac{2}{9}m^2\right)x + 3 - \dfrac{4}{9}m$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Ta có: $M\left(0; -\dfrac{1}{9}\right) \in (d)$, ta được:

$\left(\dfrac{8}{3} - \dfrac{2}{9}m^2\right).0 + 3 - \dfrac{4}{9}m = - \dfrac{1}{9}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4}{9}m = \dfrac{28}{9}$

$\Leftrightarrow m = 7$