cho hs y=1/3x^3+(m-2)x^2+(2m+3)x+1. Giá trị nguyên lớn nhất của m để hs đã cho nghịch biến trên đoạn 0;3. mấy b giải chi tiết và kết quả vs ạ? cảm ơn nhìu,

Đáp án:

$m=-2$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {2m + 3} \right)x + 1$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Có $y' = {x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 2m + 3$;

${\Delta _{y'}}' = {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 6m + 1$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $\left[ {0;3} \right]$ thì

$y' \ge 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]$

$\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} < {x_2}$ thỏa mãn ${x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}$

Ta có: $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 1 > 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 2 \\m < 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$.

Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

${x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le 0 < {x_2}\\{x_1} < 3 \le {x_2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 3 \le 0\\2m + 3 - 3.\left( { - 2m + 4} \right) + 9 \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - \dfrac{3}{2}\\8m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \dfrac{3}{2}$

Kết hợp với $\left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 2 \\m < 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$ ta được $m \le - \dfrac{3}{2}$.

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $m$ là $- 2$.