Cho hình thang ABCD, AB // CD. Các đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A và D cắt nhau ở M. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở N. a) Chứng minh MN // CD b) tính chu vi hình thang ABCD biết MN = 4cm

a.

Gọi $M'$ và $N'$ là giao điểm của tia $AM$ và $BN$ với $CD$.

Ta có: $\widehat {M'} = \widehat{A_2}$ (sole trong)

$\widehat{A_1}= \widehat{A_2}$ (gt)

$⇒ \widehat{M'} = \widehat{A_1}$ nên $ΔADM'$ cân tại $D$

* DM là phân giác của $\widehat{ADM'}$

Suy ra: $DM$ là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$⇒ AM = MM'$

$\widehat{N'} = \widehat{B_1}$ nên $ΔBCN'$ cân tại $C$.

* CN là phân giác của $\widehat{BCN'}$

Suy ra: CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$⇒ PN = NN'$

Suy ra: $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABN'M'$

$⇒ MN = M'N'$ (tính chất đường trung hình hình thang)

Hay $MN//CD$

b) $MN=AB+\dfrac{M′N′}2$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$⇒MN=AB+M′D+CD+\dfrac{CN′}2$ (1)

Mà $M′D=AD,CN′=BC.$ Thay vào (1)

$MN=AB+AD+CD+\dfrac{BC}2=a+d+c+\dfrac b2$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: gọi đường thẳng kéo dài của đường thăng AD là xx' phân giác ngoài tại A và D cắt nhau tại M => góc MAD+MDA =1/2 xAB+1/2x'DC=1/2BAD+1/2ADC=90(2 GÓC TRONG CÙNG PHÍA )

⇒AM vuong góc MD

AM kéo dài cắt DC tại Q

trong tam giác AQD có DM phân giác và đường cao => tam GIÁC AQD cân tại D =>M là trung điểm của AQ (1)

tương tự BN vuong vs CN và BN kéo dài cắt DC tại R

=> tam giác BCR cân tại C và N trung điểm BR(2)

=> (1) và (2) => MN là dg trung bình của hình thang ABRQ

=>MN//CD