Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng a căn 3 trên 3. A,B thuộc đường tròn đáy, SAO =30, SAB =60 , tính đường sinh l hình nón
2 câu trả lời
Đáp án:
Gọi là trung điểm của AB thì = a. Ta có
= SA.cos
= SA.cos
Từ đó Mặt khác . Do đó:
Vậy độ dài đường sinh:
Đáp án: $l=a\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AB$
$\Rightarrow OI\bot AB$ và có $AB\bot SO$
$\Rightarrow AB\bot (SOI)$
Trong $\Delta SOI$ dựng $OH\bot SI$ mà $ OH\bot AB$
$\Rightarrow OH\bot(SAB)$
$\Rightarrow d_{(O,(SAB))}=OH=\dfrac{a\sqrt3}{3}$
Đặt bán kính $OA=R$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $SOA$ có $\widehat {SAO}=30^o$ ta có:
$\tan\widehat{SAO}=\dfrac{SO}{OA}\Rightarrow SO=OA.\tan\widehat{SAO}=R.\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{R}{\sqrt3}$
$\cos\widehat{SAO}=\dfrac{OA}{SA}\Rightarrow SA=\dfrac{OA}{\cos\widehat{SAO}}=\dfrac{2R}{\sqrt3}$
Do $\Delta SAB$ cân đỉnh $S$ có $\widehat{SAB}=60^o\Rightarrow \Delta SAB$ đều
$\Rightarrow AB=SA=\dfrac{2R}{\sqrt3}\Rightarrow IB=\dfrac{R}{\sqrt3}$
$\Delta $ vuông $IOB$ có: $OI^2=OB^2-IB^2=R^2-(\dfrac{R}{\sqrt3})^2=\dfrac{2R^2}{3}$
$\Delta $ vuông $SOI$:
$\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OI^2}+\dfrac{1}{SO^2}=\dfrac{1}{\dfrac{2R^2}{3}}+\dfrac{1}{(\dfrac{R}{\sqrt3})^2}=\dfrac{9}{2R^2}=\dfrac{1}{(\dfrac{a\sqrt3}{3})^2}=\dfrac{3}{a^2}$
$\Rightarrow R^2=\dfrac{3a^2}{2}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt3}{\sqrt2}$
$\Rightarrow l=SA=AB=\dfrac{2R}{\sqrt3}=\dfrac{2\dfrac{a\sqrt3}{\sqrt2}}{\sqrt3}=a\sqrt2$