cho hình nón có chiều cao bằng 3.Biết rằng khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón tạo với mặt đáy của hình nón một góc 45, thiết diện thu được là một tam giác đều. tính thể tích của hình nón

Đáp án: $V = 29\pi $

Giải thích các bước giải:

 Gọi SAC là thiết diện thu được;

=> SAC là tam giác đều

Và mp (SAC) tạo với đáy góc 45 độ

Gọi M là trung điểm của AC

=> SM ⊥ AC; OM ⊥ AC
=> góc SMO = 45 độ

=> tam giác SOM vuông cân tai O

=> OM = SO = 3

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow SM = 3\sqrt 2 \\
 \Rightarrow AC = SM:\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 2 .\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\\
 \Rightarrow AM = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\\
\Delta AMO \bot tai\,M\\
 \Rightarrow AO = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {87} }}{3}\\
 \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi .A{O^2}.SO\\
 = \dfrac{1}{3}.\pi .\dfrac{{29}}{3}{.3^2} = 29\pi 
\end{array}$