Cho hình lập phương cạnh 2a . Tâm các mặt đáy của hình lập phương là đỉnh của 1 hình bát diện đều. Tính: - tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó - Tính thể tích hình bát diện đó

Đáp án:

Tổng diện tích các mặt: $S=4a^2\sqrt[]{3}$ $(đvdt)$

Thể tích: $V=\dfrac{a^3}{3}$ $(đvtt)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm hình bát diện đều, ta có:

$OM=OP=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.2a=a$

$OE=OF=\dfrac{1}{2}AA'=\dfrac{1}{2}.2a=a$

$EM=\sqrt[]{OM^2+OE^2}=\sqrt[]{a^2+a^2}=a\sqrt[]{2}$

$MQ=\dfrac{1}{2}A'C'=\dfrac{1}{2}.\sqrt[]{(2a)^2+(2a)^2}=a\sqrt[]{2}$

→ Các mặt bên của hình bát diện đều nội tiếp hình lập phương là các tam giác đều

Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó là:

$S=8.\dfrac{(a\sqrt[]{2})^2.\sqrt[]{3}}{4}=4a^2\sqrt[]{3}$ $(đvdt)$

Hình bát điện đều là hình gồm hai hình chóp tứ giác đều $E.MNPQ$ và $F.MNPQ$

Ta có: $V=V_{E.MNPQ}+V_{F.MNPQ}$

$=2V_{E.MNPQ}$

$=2.\dfrac{1}{3}.MQ^2.OE$

$=2.\dfrac{1}{3}.2a^2.a$

$=\dfrac{a^3}{3}$ $(đvtt)$