Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giáv vuông cân tại B; AB=2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC, sao cho HC=3HA. Mặt bên (ABB'A') hợp với mặt đáy một góc bằng 60°. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Đáp án:

 `V_(ABC.A'B'C')=a^3sqrt3`

Giải thích các bước giải:

Trong `(ABC)` kẻ `HK`$\parallel$`BC⇒HK\botAB`

Ta có: $\begin{cases} AB\bot HK\\AB\bot A'H\\ \end{cases}⇒AB\bot (A'HK)⇒AB\bot A'K$

$\begin{cases} (ABB'A')∩(ABC)=AB\\A'K⊂(ABB'A');A'K\bot AB\\HK⊂(ABC);HK\bot AB \end{cases}$

`⇒hat(((ABB'A')(ABC)))=hat((A'K;HK))=hat(A'KH)=60^0`

Ta có: `frac(HK)(BC)=(AH)/(AC)=1/4=>HK=1/4BC=a/2` (Định lí Ta-lét)

`=>A'H=HK.tan60^0=(asqrt3)/2`

`S_(\triangleABC)=1/2. AB . BC=1/2 .2a.2a=2a^2`

`=>V_(ABC.A'B'C')=A'H.S_(\triangleABC)=(asqrt3)/2. 2a^2=a^3sqrt3`