Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB= a căn 2 và góc tạo bởi mặt phẳng (BA'C') và mặt đáy (A'B'C') là 60 độ . Tính khoảng cách từ A đến (BA'C')

Có $(BA'C')\cap (A'B'C')=A'C'$

Kẻ $B'I\bot A'C', B'K\bot BI$

$\Delta A'B'C'$ vuông cân tại $B'$ nên $I$ là trung điểm $A'C'$

$\to B'I=\dfrac{a\sqrt2.\sqrt2}{2}=a$

Dễ thấy $B'K\bot (BA'C')$

$\to d(B',(BA'C'))=B'K$

$\sin60^o=\dfrac{d(B',(BA'C'))}{B'I}$

$\to B'K=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\dfrac{1}{BB'^2}+\dfrac{1}{B'I^2}=\dfrac{1}{B'K^2}$

$\to BB'=a\sqrt3$

$\to V_{ABC.A'B'C'}=\dfrac{1}{2}.(a\sqrt2)^2a=a^3$

$\to V_{A'.BB'C'}=\dfrac{a^3}{3}$

$\to \dfrac{1}{3}B'K.S_{BA'C'}=\dfrac{a^3}{3}$

$\to S_{BA'C'}=\dfrac{2a^2\sqrt3}{3}$

Xét tứ diện $A.A'BC'$

Dễ thấy $V_{B.ACC'}=V_{B.AA'C'}=V_{A'.BB'C'}=\dfrac{V_{ABC.A'B'C'}}{3}=\dfrac{a^3}{3}$

$\to \dfrac{1}{3}.d(A,(BA'C')).S_{BA'C'}=\dfrac{a^3}{3}$

$\to d(A,(BA'C'))=\dfrac{a\sqrt3}{2}$