Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a. Biết A'ABC là hình chóp đều và a'd họp với đáy góc 45 độ. Tính thể tích abcda'b'c'd'

Đáp án:

$V_{ABCD.A'B'C'D'}=a^3$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O=AC\cap BD$

G là tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow A'G\bot (ABC)$

$\widehat{(A'G,\text{đáy})}=(A'D,GD)=\widehat{A'DG}=45^o$

$\Delta ABC$ đều cạnh a

$\Rightarrow BO=\dfrac{a\sqrt3}2$

$\Rightarrow BD=2BO=a\sqrt3$

$BG=\dfrac23.BO=\dfrac{a\sqrt3}3$

$\Rightarrow GD=BD-BG=\dfrac{2a\sqrt3}3$

$\Delta A'DG\bot G$ có $\widehat D=45^o$

$\Rightarrow\Delta A'DG\bot$ cân tại G$

$\Rightarrow A'G=GD=\dfrac{2a\sqrt3}3$

$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2.\dfrac{a^2\sqrt3}4=\dfrac{a^2\sqrt3}2$

$V_{ABCDA'B'C'D'}=AG'.S_{ABCD}=\dfrac{2a\sqrt3}3.\dfrac{a^2\sqrt3}2=a^3$.