cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' = a √10/4, AC= a √2, BC=a, góc ACB = 135 độ. hình chiếu vuông góc C' lên mp (ABC) trừng với trung điểm M của AB. Tính thể tích hình lăng trụ

Đáp án:

$V_{ABC.A'B'C'}=\dfrac{a^3\sqrt6}8$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý hàm số cos vào $\Delta ABC$ có:

$AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.\cos\widehat{ACB}$

$=2a^2+a^2-2.a\sqrt2.a.\cos135^o$

$=5a^2$

$\Rightarrow AB=a\sqrt5$

Áp dụng công thức đường trung tuyến vào $\Delta ABC, CM$ là đường trung tuyến có

$CM^2=\dfrac{2(AC^2+BC^2)-AB^2}4$

$=\dfrac{2(2a^2+a^2)-5a^2}4=\dfrac{a^2}4$

$\Rightarrow CM=\dfrac a2$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta CMC'\bot M,CC'=AA'=\dfrac{a\sqrt{10}}4$ có:

$C'M^2=CC'^2-CM^2=\dfrac{10a^2}{16}-\dfrac{a^2}4=\dfrac{3a^2}{8}$

$\Rightarrow C'M=\dfrac{a\sqrt6}4$

$S_{ABC}=\dfrac12.AC.BC.\sin\widehat{ACB}=\dfrac12.a\sqrt2.a.\sin135^o=\dfrac{a^2}2$

$V_{ABCA'B'C'}=C'M.S_{ABC}=\dfrac{a\sqrt6}4.\dfrac{a^2}2=\dfrac{a^3\sqrt6}8$ (đvdt).