Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36 , độ dài 1 đường chéo =6 ,Tìm giá trị lớn nhất thể tích khối hộp chữ nhật đó

Đáp án:

$V_{max}=8\sqrt2$

Giải thích các bước giải:

Gọi độ dài các cạnh hình hộp chữ nhật là `a,b,c`

Hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là `36` nên:

`2ab+2bc+2ca=36`

`<=> ab+bc+ca=18`

Độ dài một đường chéo là `6`:

$ \sqrt {{a^2} + b{\,^2} + {c^2}}  = 6$

`=>` $\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\\ ab + bc + ca = 18 \end{array} \right.$

`=>` $\left\{ \begin{array}{l} {(a + b + c)^2} = 72\\ ab + bc + ca = 18 \end{array} \right.$

`=>` $\left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 6\sqrt 2 \\ b(a + c) + ca = 18 \end{array} \right.$

Thể tích của hình hộp chữ nhật:

$V = abc = b\left[ {18 - b(a + c)} \right] = b\left[ {18 - b(6\sqrt 2  - b)} \right] = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b = f(b)$

Xét `f(b)` ta có:

$f'(b)=3{b^2} - 12\sqrt 2 b + 18=0$

`<=>` $\left[ \begin{array}{l} b = 3\sqrt 2 \\ b = \sqrt 3  \end{array} \right.$

$f(3\sqrt2)=0$

$f(\sqrt3)=8\sqrt2$

`=>` $V_{max}=8\sqrt2$