Cho hình chópS ABCD .có đáy là hình vuông cạnh bằnga, mặt bênSABlà tamgiác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. GọiM N,lần lượt là trung điểm củaBCvàSD. Gọilà góc giữa đường thẳngMNvà đáy. giari cho em bài này với ạ

Đáp án:

$\alpha=30^\circ$

Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle SAB$ đều cạnh $AB= a$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}SH\perp AB\\SH=\dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$

Ta có:

$\quad \begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Trong $mp(SHD)$ kẻ $NK\perp HD$

$\Rightarrow NK//SH$

$\Rightarrow NK\perp (ABCD)$

$\Rightarrow MK$ là hình chiếu của $MN$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(MN;(ABCD))}=\widehat{NMK}=\alpha$

Ta lại có:

$+)\quad \begin{cases}SN = ND =\dfrac12SD\\NK//SH\end{cases}$

$\quad \Rightarrow \begin{cases}NK =\dfrac12SH =\dfrac{a\sqrt3}{4}\\KH = KD =\dfrac12HD\end{cases}$

$+)\quad \begin{cases}KH = KD =\dfrac12HD\\BM = MC =\dfrac12BC\end{cases}$

$\quad \Rightarrow \begin{cases}MK//BH//CD\\MK =\dfrac{BH+CD}{2}=\dfrac{\dfrac a2 + a}{2}=\dfrac{3a}{4}\end{cases}$

Khi đó:

$\quad \tan\widehat{NMK}=\dfrac{NK}{MK}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{4}}{\dfrac{3a}{4}}=\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\Rightarrow\widehat{NMK}=30^\circ$

Vậy $\alpha=30^\circ$