Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCD và S.AMN Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD

Đáp án:

$a) \,\,V_{S.BCD} = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

$V_{S.AMN} = \dfrac{a^3\sqrt2}{48}$

$b)\,\,\widehat{((SCD);(ABCD))} \approx 55^o$

$c)\,\,d(SA;CD) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$

$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$

$\Rightarrow S_{ABCD} = a^2$

Gọi $O = AC\cap BD$

$\Rightarrow OA = OB =OC = OD = \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta có:

$S_{BCD} = S_{ABD} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$

$\Rightarrow S_{BCD} = S_{ABD} = \dfrac{a^2}{2}$

Do đó:

$V_{S.BCD} = \dfrac{1}{3}S_{BCD}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2} = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Ta có:

$SM = MB = \dfrac{1}{2}SB$

$SN = ND = \dfrac{1}{2}SD$

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow S_{AMN} = \dfrac{1}{4}S_{SBD}$

$\Rightarrow V_{A.SMN} = \dfrac{1}{4}V_{A.SBD} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABD} = \dfrac{1}{4}V_{S.BCD}$

$\Rightarrow V_{A.SMN} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a^3\sqrt2}{12} = \dfrac{a^3\sqrt2}{48}$

b) Gọi $H$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow OH\perp CD$

$\Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}$

Do $SC = SD = a$

$HC = HD = \dfrac{1}{2}CD$

$\Rightarrow SH\perp CD$

Ta có:

$\begin{cases}(ABCD)\cap (SCD)= CD\\OH\perp CD, \,OH\subset (ABCD)\\SH\perp CD,\,SH\subset (SCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SCD);(ABCD))} = \widehat{SHO}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SHO} = \dfrac{SO}{OH} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}}{\dfrac{a}{2}} = \sqrt2$

$\Rightarrow \widehat{SHO} \approx 55^o$

c) Ta có:

$CD//AB$

$\Rightarrow CD//(SAD)$

$\Rightarrow d(CD;(SAD)) = d(CD;SA)$ $(SA\subset (SAD))$

$\Rightarrow d(H;(SAD)) = d(CD;SA)$

Ta lại có:

$AB\perp SO\quad (SO\perp (ABCD))$

$AB\perp OH \quad (OH\perp CD)$

$\Rightarrow AB\perp (SHO)$

Kéo dài $OH$ cắt $AD$ tại $K$

$\Rightarrow AB\perp (SKH)$

Kẻ $HI\perp SK$

$\Rightarrow AB\perp HI$

$\Rightarrow HI\perp (SAD)$

$\Rightarrow HI = d(H;(SAD))$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = AK^2 + SK^2$

$\Rightarrow SK = \sqrt{SA^2 - AK^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Xét $ΔSHK$ có:

$SO.HK = HI.SK= 2S_{AHK}$

$\Rightarrow HI = \dfrac{SO.HK}{SK} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot a}{\dfrac{a\sqrt3}{2}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$