Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a , cạnh đáy bằng a . Tính thể tích khối chóp và chân đường cao d đến ( SAB) ,mẶt bên SAB

Gọi $AC\cap BD = O$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

Ta có:

$AB= BC = CD = DA = a$

$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{14}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{6}$

Xét hình chóp $S.OAB$ có $SO, OA, OB$ đôi một vuông góc, ta có:

$\dfrac{1}{d^2(O;(SAB))} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$

$\Rightarrow d(O;(SAB)) = \dfrac{SO.OA}{\sqrt{OA^2 + 2SO^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{2} + 7a^2}}=\dfrac{a\sqrt{210}}{30}$

Ta có:

$V_{S.OAB} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{24}$

mà $V_{S.OAB} = \dfrac{1}{3}S_{SAB}.d(O;(SAB))$

nên $S_{SAB} =\dfrac{3V_{S.OAB}}{d(O;(SAB))} = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{14}}{8}}{\dfrac{a\sqrt{210}}{30}} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}$