Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a,SB=2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Đáp án:\(V=\frac{64\sqrt{14}}{147}\pi a^{3}\)

Giải thích các bước giải:

\(V=\frac{64\sqrt{14}}{147}\pi a^{3}\)

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên đường cao SO của hình chóp cũng chính là trục của đa giác đáy 

Xét ΔBCD vuông cân tại C có  BC = CD = a

⇒ BD = $\sqrt[]{BC² + CD²}$ = a$\sqrt[]{2}$ 

⇒ BO = $\frac{1}{2}$.BD = $\frac{a\sqrt[]{2}}{2}$

Xét ΔSOB vuông tại O có  SB = 2a ,  BO = $\frac{a\sqrt[]{2}}{2}$

⇒ SO = $\sqrt[]{SB² - BO²}$ = $\frac{a\sqrt[]{14}}{2}$  

Trong mp (SOB), ta vẽ trung trực của SB, đường này cắt SO tại I. Rõ ràng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Gọi M là trung điểm của SB

⇒ SM = $\frac{1}{2}$.SB = a

 ΔSMI ~ ΔSOB (g.g) nên ta có  $\frac{SI}{SB}$ = $\frac{SM}{SO}$ 

⇒ SI = $\frac{SB.SM}{SO}$ = $\frac{2a.a}{\frac{a\sqrt[]{14}}{2}}$ = $\frac{2a\sqrt[]{14}}{7}$ 

Vì SI chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD nên ta có

$V_{khối.cầu.ngoại.tiếp.hình.chóp}$ = $\frac{4}{3}$. $\pi$ .SI³ = $\frac{64\pi\sqrt[]{14}}{147}$