Cho hình chóp tứ giác đều ABCD. AB=a, SA tạo với đấy góc 60 độ. a. Tính bán kính b. Tính diện tích và thể tích mặt cầu

Đáp án:

a) \(R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

b) \(S  = \dfrac{{8\pi {a^2}}}{3}\).

\(V = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\) 

Giải thích các bước giải:

a) Gọi E là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow EC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác \(SEC\) vuông tại E có \(\widehat C = {60^0} \Rightarrow SE = EC\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{E^2} + E{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 2 \)

Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng trung trực của SC cắt SE tại O.

Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

\(\Delta SMO \sim \Delta SEC \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SE}} = \dfrac{{SO}}{{SC}}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{SM.SC}}{{SE}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy bán kính \(R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

b) Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{8\pi {a^2}}}{3}\)

Thể tích khối cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)