Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy = a. tính thể tích khối chóp SABC biết a) cạnh bên bằng 2a b) góc giữa cạnh bên và mặt đáy = 60 độ c) góc giữa mặt bên và mặt đáy = 60 độ Giúp vs mng

Đáp án:

a) $V=  \dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$

b) $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

c) $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $ΔABC$ đều cạnh $a$

Gọi $AM$ là đường cao ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Gọi $H$ là tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow \begin{cases}AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{a\sqrt3}{3}\\HM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{a\sqrt3}{6}\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$ ($S.ABC$ là hình chóp tam giác đều)

$\Rightarrow SH = AH.\tan\widehat{SAH} = HM.\tan\widehat{SMH}$

a) Ta có:

$SA = SB = SC = 2a$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔSHA$ vuông tại $H$ ta được:

$SA^2 = AH^2 + SH^2$

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^2 -AH^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{33}}{3}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{33}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$

b) Ta có:

$SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAH} = 60^o$

$\Rightarrow SH = AH.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3 = a$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

c) Ta có:

$SB = SC = 2a$

$\Rightarrow ΔSBC$ cân tại $S$

Lại có: $MB = MC = \dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

Ta lại có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SM\perp BC,\,SM\subset (SBC)\\AM\perp BC,\,AM\subset(ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = \widehat{SMH} = 60^o$

$\Rightarrow SH = HM.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3 = \dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$