Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng 2a. Tính V S.ABCD trong các trường hợp sau: a. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60 độ b. Góc giữa mặt bên và đáy bằng 45 độ

$∆ABC$ đều cạnh $2a$

$\Rightarrow S_{ABC}= \dfrac{(2a)^2\sqrt3}{4} = a^2\sqrt3$

Gọi $O$ là tâm mặt đáy $ABC$

$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AB\sqrt3}{3} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AM\perp BC$

$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Do $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều

nên $SO\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAO}$

a) Ta có: $\widehat{SAO} = 60^o $

$\Rightarrow SO = AO.\tan60^o = \dfrac{2a\sqrt3}{3}.\sqrt3 = 2a$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot a^2\sqrt3\cdot 2a = \dfrac{2a^3\sqrt3}{3}$

b) Ta có:

$SB = SC$

$\Rightarrow ∆SBC$ cân tại $S$

Lại có $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SM\perp BC;\,SM\subset (SBC)\\AM\perp BC;\, AM\subset(ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = 45^o$

$\Rightarrow SO = OM.\tan45^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta được:

$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot a^2\sqrt3\cdot \dfrac{a\sqrt3}{3} = \dfrac{a^3}{3}$