cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2a và cạnh bên tạo với mặt đáy góc 45 độ. tính thể tích

Đáp án:

 $V=\frac{a^3\sqrt6}{18}$

Giải thích các bước giải:

Gọi S.ABC là hình chóp đều với đáy là ΔABC đều

Gọi G là trọng tâm

⇒SG⊥(ABC)

Xét ΔSAG⊥G

áp dụng hệ thức lượng:

$sin(45)=\frac{SG}{SA}\\⇒SG=a\sqrt2$

$cos(45)=\frac{AG}{SA}\\⇒AG=a\sqrt2$

$⇒AH=AG.\frac{3}{2}=\frac{3a\sqrt2}{2}$

$⇒AB=AH.\frac{4}{\sqrt3}=2a\sqrt6$

$⇒S_{ABC}=(2a\sqrt6)^2.\frac{\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{6}$

$⇒V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SG$

$⇒V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt3}{6}.a\sqrt2=\frac{a^3\sqrt6}{18}$

#X

Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh bên $SA=2a$, $(SA;(ABC))=45^o$

Kẻ $SH\bot (ABC)$

$S.ABC$ chóp đều nên $H$ là tâm đáy 

Ta có $(SA;(ABC))=(AS;AH)$

$\to \widehat{SAH}=45^o$

$\to AH=\dfrac{AB\sqrt3}{3}=SA.\cos45^o=a\sqrt2$

$\to AB=\dfrac{3a\sqrt2}{\sqrt3}=a\sqrt6$

$\to S_{ABC}=\dfrac{AB^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}$

$SH=HA=a\sqrt2$

Vậy $V=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{a^3\sqrt6}{2}$