cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh ạ, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là

Đáp án:

$d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Giải thích các bước giải:

Kẻ SE vuông góc AB tại E. Kẻ EN vuông góc với CD tại N. Kẻ EH vuông góc SN tại H.

Ta có:

$\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB$

$(SAB)$ nằm trong mặt phẳn vuông góc với $(ABCD)$ và $SE⊥AB$

$⇒SE\perp (ABCD)$

Lại có:

$d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SCD} \right)} \right)$  (1)

Mà:

$CD\perp SE; CD\perp EN\to CD\perp (SEN)\to CD\perp EH$ và $EH\perp SN$

$\to EH\perp (SCD)\to d\left( {E,\left( {SCD} \right)} \right)=EH$                    (2)

Từ (1), (2) $⇒d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)=EH$

Ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{E{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{E^2}}} + \dfrac{1}{{E{N^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}}\\  \Rightarrow EH = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{7}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\\  \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7} \end{array}$

Vậy $d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$