Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, biết AB = a, SAD =90° và tam giác SAB là tam giác đều. Gọi Dt là đường thẳng đi qua D và song song với SC; I là giao điểm của Dt và mặt phẳng (SAB). Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AIC) có diện tích là ?

Giải thích các bước giải:

Qua S kẻ đường thẳng song song CD, cắt Dt tại I

$\to \Diamond SICD$ là hình bình hành

$\to SI//CD//AB\to I\in (SAB)$ 

$\to I=Dt\cap (SAB)$

$\to IC\cap SD=E$

$\to\Delta AEC$ là thiết diện cần tìm

Hạ $SG\cap AB=G\to SG\perp (ABCD)$

Gọi H là trung điểm GD $\to EH//SG\to EH\perp (ABCD)$

$GD\cap AO=J\to J$ là trọng tâm $\Delta ABD$

Hạ $HL\perp AO=L\to (EHL)\perp AC\to EL\perp AC$

$\to JH=GH-GJ=\dfrac 12 GD-\dfrac 13 GD=\dfrac 16GD$

$\to\dfrac{JH}{JD}=\dfrac{\dfrac 16 GD}{\dfrac 23 GD}=\dfrac 14$

$\to HL=\dfrac{JH}{JD}.OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{8}$

$EH=\dfrac{SG}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

$\to EL^2=EH^2+HL^2=\dfrac{7a^2}{32}\to EL=\dfrac{a\sqrt{14}}{8}\to S_{AEC}=\dfrac 12 AC.EL=\dfrac{a^2\sqrt 7}{8}$