Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2AB = 2BC = 2a, SA ⊥ ( ABCD ), SA = a. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua B và vuông góc với SC, $(\alpha)$ chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối đa diện. Khi đó, thể tích khối có chứa điểm A bằng?

Đáp án:

$\dfrac{19a^3}{54}$

Giải thích các bước giải:

Thể tích khối chóp $S.ABCD:$

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SA$

$\to V_{S.ABCD} = \dfrac13\cdot \dfrac12(BC+AD)\cdot AB\cdot SA$

$\to V_{S.ABCD}=\dfrac16\cdot (a+2a)\cdot a \cdot a = \dfrac{a^3}{2}$

Gọi $E$ là trung điểm $AD$

$\to ABCE$ là hình vuông

$\to AC\perp BE$

mà $SA\perp BE\quad (SA\perp (ABCD))$

nên $BE\perp (SAC)$

$\to BE\perp SC$

Từ $B$ kẻ $BM\perp SC$

$\to SC\perp (BME)$

Từ $M$ kẻ $MN\perp SC\quad (N\in SD)$

$\to SC\perp (BMNE)$

$\to (BMNE)\subset (\alpha)$

Ta có:

$SA\perp BC$

$AB\perp BC$

$\to BC\perp (SAB)$

$\to BC\perp SB$

$\to ΔSBC$ vuông tại $B$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSBC$ vuông tại $B$ đường cao $BM$ ta được:

$\dfrac{SM.SC}{MC.SC} = \dfrac{SB^2}{BC^2}$

$\to \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{SA^2 + AB^2}{BC^2}$

$\to \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{2a^2}{a^2} = 2$

$\to \dfrac{MC}{SC} = \dfrac13$

Gọi $MH = d(M;(ABCD))$

$\to MH//SA$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{MH}{SA} = \dfrac{MC}{SC}$

$\to MH = \dfrac{MC}{SC}\cdot SA$

$\to MH = \dfrac13\cdot a = \dfrac{a}{3}$

Bên cạnh đó:

$AC\perp BE$

$AC\perp CD\quad \left(CE = \dfrac12AD = a\right)$

$\to BE//CD$

mà $BC//ED\quad (BC//AD)$

nên $BCDE$ là hình bình hành

$\to S_{BCDE} = 2S_{BEC} = BC.CE = a^2$

Do đó:

$V_{M.BCDE} = \dfrac13S_{BCDE}.MH$

$\to V_{M.BCDE} = \dfrac13\cdot a^2\cdot \dfrac a3 = \dfrac{a^3}{9}$

Ta có:

$SA\perp CD$

$AC\perp CD$

$\to CD\perp (SAC)$

$\to CD\perp SC$

$\to CD//MN$

$\to MN//(ABCD)$

Kẻ $NP\perp AD$

$\to NP//SA$

$\to NP\perp (ABCD)$

$\to NP = d(N;(ABCD))$

mà $MN//(ABCD)$

nên $d(N;(ABCD))= d(M;(ABCD))= MH$

$\to NP = MH =\dfrac a3$

Gọi $MK = d(M;(SAD))$

Bên cạnh đó:

$CE\perp AD$

$SA\perp CE$

$\to CE\perp (SAD)$

$\to CE//MK$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{MK}{CE} = \dfrac{SM}{SC}$

$\to MK = \dfrac{SM}{SC} \cdot CE$

$\to MK = \dfrac23\cdot a = \dfrac{2a}{3}$

Do đó:

$V_{M.NDE} = \dfrac13S_{NDE}.MK$

$\to V_{M.NDE} = \dfrac13\cdot \dfrac12NP\cdot DE\cdot MK$

$\to V_{M.NDE} = \dfrac16\cdot \dfrac a3\cdot a \cdot \dfrac{2a}{3} = \dfrac{a^3}{27}$

Ta được:

$V_{BCDENM} = V_{M.BCDE} + V_{M.NDE}$

$\to V_{BCDENM} = \dfrac{a^3}{9} + \dfrac{a^3}{27}$

$\to V_{BCDENM} = \dfrac{4a^3}{27}$

Khi đó:

$V_{S.ABENM} = V_{S.ABCD} - V_{BCDENM}$

$\to V_{S.ABENM} = \dfrac{a^3}{2}- \dfrac{4a^3}{27}$

$\to V_{S.ABENM} = \dfrac{19a^3}{54}$