cho hình chóp sabcd có sa vuông góc với đáy, abcd là hình vuông cạnh 4a góc giữa sbc và đáy =60 độ. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp sabcd

Đáp án:

$R=2a\sqrt[]{5}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm đáy, từ $O$ kẻ $OH//SA$

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OH$ là đường trung bình của $ΔSAC$

$→ H$ là trung điểm của $SC$

$ΔSAC$ vuông có $AH$ là đường trung tuyến

$→ AH=HS=HC$ $(1)$

Có $\left\{ \begin{array}{l}SA⊥(ABCD)\\SA//OH\end{array} \right.$

$→ OH⊥(ABCD) → OH$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $H$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
Ta có: $AC=\sqrt[]{AB^2+BC^2}=\sqrt[]{(2a)^2+(2a)^2}=4a\sqrt[]{2}$

Có $\left\{ \begin{array}{l}BC⊥AB\\BC⊥SA\end{array} \right. → BC⊥(SAB)$

$→ BC⊥SB$

$(SBC)∩(ABCD)=BC$, mà $\left\{ \begin{array}{l}BC⊥SB\\BC⊥AB\end{array} \right.$

$→$ Góc giữa $(SBC)$ và đáy là $\widehat{SBA}=60^o$

$→ SA=AB.\tan60^o=4a\sqrt[]{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là:

$R=AH=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}\sqrt[]{SA^2+AC^2}=2a\sqrt[]{5}$