Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm hình chữ nhật ABCD , M là trung điểm SD, AB=6a,AC=10a,SA=SC ,SB=SD=8a. A)tính thể tích khối chóp S.ABO và S.MAC B)tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABO (Em cần gấp ạ)
1 câu trả lời
Đáp án:
a) $V_{S.ABO} = V_{S.MAC} = \dfrac{12a^3\sqrt{39}}{3}$
b) $R = \dfrac{a\sqrt{1249}}{8}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}SA = SC\\OA = OC = \dfrac12AC\end{cases}$
$\Rightarrow SO$ là trung trực $AC$
$\Rightarrow SO\perp AC$
$\begin{cases}SB = SC\\OB = OD = \dfrac12BD\end{cases}$
$\Rightarrow SO$ là trung trực $BD$
$\Rightarrow SO\perp BD$
Do đó: $SO\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SA = SB = SC = SD = 8a$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$+)\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$
$\Rightarrow BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{100a^2 - 36a^2}$
$\Rightarrow BC = 8a$
$+)\quad SA^2 = SO^2 + OA^2$
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{64a^2 - 25a^2}$
$\Rightarrow SO = a\sqrt{39}$
Khi đó:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13AB.BC.SO$
$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac13\cdot 6a\cdot 8a\cdot a\sqrt{39}$
$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{48a^3\sqrt{39}}{3}$
Ta lại có:
$S_{ABO} = \dfrac14S_{ABCD}$
$\Rightarrow V_{S.ABO} = \dfrac14V_{S.ABCD}$
$\Rightarrow V_{S.ABO} = \dfrac{12a^3\sqrt{39}}{3}$
Mặt khác:
$S_{ACD} = \dfrac12S_{ABCD}$
$MS = MD = \dfrac12SD$
$\Rightarrow V_{S.MAC} = \dfrac14V_{S.ABCD}$
$\Rightarrow V_{S.MAC} = \dfrac{12a^3\sqrt{39}}{3}$
b) Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABO$
Ta có:
$S_{ABO} = \dfrac{OA.OB.AB}{4r}$
$\Leftrightarrow r = \dfrac{OA.OB.AB}{4S_{ABO}} = \dfrac{OA.OB.OC}{S_{ABCD}}$
$\Leftrightarrow r = \dfrac{5a.5a.6a}{6a.8a}$
$\Leftrightarrow r = HO = HB = HC = \dfrac{25a}{8}$
Từ $H$ kẻ đường thẳng $d\perp (ABO)$
$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABO$
Gọi $K$ là trung điểm $SO$
Từ $K$ kẻ đường trung trực của $SO$ cắt $d$ tại $I$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABO$
Ta được:
$HIKO$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \begin{cases}HI = OK = \dfrac12SO = \dfrac{a\sqrt{39}}{2}\\KI = HO = \dfrac{25a}{8}\end{cases}$
Khi đó:
$R = IO = HK = \sqrt{OK^2 + HO^2} = \sqrt{\dfrac{39a^2}{4} + \dfrac{625a^2}{64}}$
$\Leftrightarrow R = \dfrac{a\sqrt{1249}}{8}$