Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằng $\frac{3\sqrt{7}a }{7}$ . tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Đáp án:

${V_{S.ABCD}} = \dfrac{3}{2}{a^3}$

Giải thích các bước giải:

 Gọi H là trung điểm của AB, E là trung điểm của CD. Gọi F là hình chiếu của H trên SE.

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right);\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB;SH \bot AB\\
 \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
AB//CD\\
 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}
\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
CD \bot HE;CD \bot SH \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow CD \bot HF\\
HF \bot CD;HF \bot SE \Rightarrow HF \bot \left( {SCD} \right)
\end{array}$

$ \Rightarrow HF = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}$

Đặt $AB = x\left( {x > 0} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta SHE;\widehat {SHE} = {90^0};SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2};HE = x\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{7}{{9{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{x^2}}}\\
 \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2}\\
 \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 
\end{array}$

Khi đó:

${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2}.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \dfrac{3}{2}{a^3}$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{3}{2}{a^3}$