cho hình chóp sabcd có đáy là hình vuông cạnh a, sa vuông góc với mặt đáy. góc hợp bởi mp(SBD) và mặt đáy là 60 độ. Tính thể tích chóp SABCD theo a

Đáp án:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O = AC\cap BD$

Ta có: $SA\perp AB; \, SA\perp AD \, (SA \perp (ABCD))$

$AB = AD = a$

$SA:$ cạnh chung

$\Rightarrow SB = SD$

$\Rightarrow ΔSBD$ cân tại $S$

$\Rightarrow SO\perp BD$

Xét $(SBD)$ và $(ABCD)$ có:

$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD) = BD\\SO\subset (SBD);\, SO\perp BD\\AO\subset (ABCD);\, AO\perp BD \, (AC\perp BD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ACBD))} = \widehat{SOA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AO.\tan\widehat{SOA}$

Lại có: $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}AB\sqrt2 = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt2}{2}.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt6}{2}$

Do đó:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.a^2.\dfrac{a\sqrt6}{2} = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$