Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Tính thể tích SABCD
2 câu trả lời
Đáp án:
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Giải thích các bước giải:
Gọi F, E là trung điểm AB, CD -> EF⊥AB,EF⊥CD
Vì tam giác SAB đều -> SF⊥AB
-> AB⊥(SEF) -> (ABCD)⊥(SEF)
Từ S kẻ SH⊥EF
(ABCD)∩(SEF)=EF
-> SH⊥(ABCD)
tam giác SAB đều -> SF=\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
tam giác SCD vuông cân ở S -> SE=\(\frac{a}{2}\)
EF=a -> \({S_{SEF}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\) = \(\frac{1}{2}FE.SH\) -> \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Đáp án: a³√3/12
Giải thích các bước giải:
Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB, CD, Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) => H thuộc MN. Dễ tính ra SM = a√3/2; SN = a/2
SM² - HM² = SH² = SN² - HN²
⇔ HM² - HN² = SM² - SN²
⇔ (HM + HN)(HM - HN) = 3a²/4 - a²/4
⇔ a.(HM - HN) = a²/2
⇔ HM - HN = a/2 mà HM + HN = a ⇒ HM = 3a/4
⇒ SH² = SM² - HM² = 3a²/4 - 9a²/16 = 3a²/16 => SH = a√3/4
⇒ V(S.ABCD) = (1/3)SH.S(ABCD) = (1/3)(a√3/4).a² = a³√3/12