Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến (SBD) bằng ?? Giải ngắn gọn dễ hiểu với ạ!!!

Đáp án:

$d(C;(SBD))=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Trong $mp(SAB)$ kẻ $SH\perp AB$

$\Rightarrow SH =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\quad \text{(cách dựng)}\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Từ $H$ kẻ $HM\perp BD$

$\Rightarrow HM//OA$

mà $AH = HB =\dfrac12AB$

nên $HM =\dfrac12OA =\dfrac{a\sqrt2}{4}$

Ta có:

$\begin{cases}SH\perp BD\quad (SH\perp (ACBD))\\HM\perp BD \quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (SHM)$

Trong $mp(SHM)$ kẻ $HK\perp SM$

$\Rightarrow BD\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SBD)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SBD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:

$\quad\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$

$\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HM}{\sqrt{SH^2 + HM^2}}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt2}{4}}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{8}}}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$

Gọi $AI= d(A;(SBD))$

$\Rightarrow AI//HK$

mà $AH = HB =\dfrac12AB$

nên $AI = 2HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Mặt khác:

$\quad V_{S.ABD}=V_{S.BCD}= \dfrac12S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow \dfrac13S_{SBD}.d(A;(SBD))= \dfrac13S_{SBD}.d(C;(SBD))$

$\Leftrightarrow d(A;(SBD))= d(C;(SBD))$

Vậy $d(C;(SBD))=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Đáp án:$\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$