Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Có SC = 2a, SA ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

Đáp án:

$d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$ 

Giải thích các bước giải:

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$

$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2}$

$\Rightarrow SA= a\sqrt2$

Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AB\\SA\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Trong $mp(SAB)$ kẻ $AH\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AH  =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \dfrac{a\sqrt2.a}{\sqrt{2a^2 + a^2}}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Mặt khác:

$AD//BC$

$\Rightarrow AD//(SBC)$

$\Rightarrow d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) = AH = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Vậy $d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Giải thích các bước giải:

Gọi AH là đường cao trong tam giác SAB

Ta có:

BC⊥AB⊂(SAB)

BC⊥SA⊂(SAB)

Như vậy BC⊥(SAB)⊃AH

⇒AH⊥BC⊂(SBC)

mà AH⊥SB⊂(SBC)

⇒AH⊥(SBC)

Như vậy theo đề bài ta có:

$d[D;(SBC)]=d[A;(SBC)]=AH$

 Do ABCD là hình vuông

$⇒AC=a\sqrt2$

Áp dụng pythagoras trongΔSAC:

$⇒SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt2$

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔSAB⊥A có đường cao AH

$⇒\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\\⇒AH=\frac{a\sqrt6}{3}$

#X