Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA vg góc với mp đáy và SA = a căn 5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và SC bằng?

Đáp án:

$d(MN;SC)=\dfrac{a\sqrt{130}}{26}$

Giải thích các bước giải:

Cách 1: Hình học không gian thuần túy

Gọi $H,\ P$ lần lượt là trung điểm $AB,\ BC$

$\Rightarrow\begin{cases}MH =\dfrac{a\sqrt5}{2}\\NP = a\sqrt2\\NH = 2a\\MN = \dfrac{a\sqrt{21}}{2}\quad (Pythagoras)\\MB = \dfrac32a\\MH\perp (ABCD)\\S_{NPC}= \dfrac{a^2}{2}\end{cases}$

Dễ dàng chứng minh được:

$BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SB$

$\Rightarrow PB\perp MB$

$\Rightarrow MP = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}\quad (Pythagoras)$

$\Rightarrow p_{MNP}=\dfrac{MN + NP + MP}{2}=\dfrac{a\left(2\sqrt2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}\right)}{4}$

$\Rightarrow S_{MNP}=\dfrac{a^2\sqrt{26}}{4}$

Khi đó:

$\quad S_{MNP}.d(C;(MNP))= S_{NPC}.MH = 3V_{C.MNP}$

$\Rightarrow d(C;(MNP))=\dfrac{S_{NPC}.MH}{S_{MNP}}$

$\Rightarrow d(C;(MNP))=\dfrac{\dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt5}{2}}{\dfrac{a^2\sqrt{26}}{4}}$

$\Rightarrow d(C;(MNP))= \dfrac{a\sqrt{130}}{26}$

Ta có:

$SC// MP$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow SC//(MNP)$

mà $MN\subset (MNP)$

nên $d(C;(MNP))= d(SC;(MNP))= d(SC;MN)= \dfrac{a\sqrt{130}}{26}$

Cách 2: Đặt hệ trục toạ độ

Chọn $A$ làm góc toạ độ

$AB,\ AD,\ AS$ lần lượt là các trục $Ox,\ Oy,\ Oz$

Ta được:

$\quad \begin{cases}B(2a;0;0)\\C(2a;2a;0)\\D(0;2a;0)\\S(0;0;a\sqrt5)\\M\left(a;0;\dfrac{a\sqrt5}{2}\right)\\N(0;2a;0)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{NC}=(-a;0;0)\\\overrightarrow = \left(0;2a;-\dfrac{a\sqrt5}{2}\right)\\\overrightarrow{SC}=(2a;2a;-a\sqrt5)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{NC}=(-a;0;0)\\\left[\overrightarrow{MN};\overrightarrow{SC}\right]= \left(-a^2\sqrt5;-a^2\sqrt5;-4a^2\right)\end{cases}$

Chọn $\overrightarrow{u}= \left(\sqrt5;\sqrt5;4\right)$ cùng phương $\left[\overrightarrow{MN};\overrightarrow{SC}\right]$

Ta được:

$\quad d(MN;SC)=\dfrac{\left|\overrightarrow{NC}.\overrightarrow{u}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$

$\Leftrightarrow d(MN;SC)=\dfrac{|-a\sqrt5|}{\sqrt{5 + 5 + 16}}$

$\Leftrightarrow d(MN;SC)=\dfrac{a\sqrt{130}}{26}$

Vậy $d(MN;SC)=\dfrac{a\sqrt{130}}{26}$