Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và góc  0 BAD 120 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, cạnh SM tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 0 30 . Thể tích khối chóp S.AMCD bằng

Đáp án:

$V_{S.AMCD}= \dfrac{a^3\sqrt3}{16}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\widehat{BAD}= 120^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{DAC}= 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle ABC;\ \triangle ACD$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow S_{ABC}=S_{ACD}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Ta lại có: $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}\\S_{AMC}=\dfrac12S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\end{cases}$

$\Rightarrow S_{AMCD}=S_{AMC} +S_{ACD}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{8}$

Mặt khác: $SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SM;(ABCD))}=\widehat{SMA}= 30^\circ$

$\Rightarrow SA = AM.\tan30^\circ =\dfrac{a}{2}$

Ta được:

$V_{S.AMCD}=\dfrac13S_{AMCD}.SA =\dfrac13\cdot \dfrac{3a^2\sqrt3}{8}\cdot \dfrac a2$

$\Rightarrow V_{S.AMCD}=\dfrac{a^3\sqrt3}{16}$