cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật AB=a SA=BC=2a.biết 2 mp(SAC), (SBD) cùng vuông góc với đáy tính theo a khoảng cách h từ A đến mp (SBC).

Đáp án:

$d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{33}}{6}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O = AC\cap BD$

Ta có: $(SAC) \cap (SBD) = SO$

$(SAC)\perp (ABCD)$

$(SBD)\perp (ACBD)$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

mà $OA = OB = OC = OD$

nên $SA = SB = SC = SD = 2a$

Lại có: $BC = 2a$

$\Rightarrow ∆SBC$ đều

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC, AD$

$\Rightarrow SM\perp BC, \, SM = \dfrac{BC\sqrt3}{2} = a\sqrt3$

Bên cạnh đó: $MN//AB//CD$

$\Rightarrow MN\perp BC$

$\Rightarrow MO = NO = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$\Rightarrow SO= \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{3a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{11}}{2}$

Ta có:

$SM\perp BC$

$SO\perp BC \, (SO\perp (ABCD))$

$\Rightarrow BC\perp (SOM)$

Từ $O$ kẻ $OK\perp SM$

$\Rightarrow BC\perp OK$

$\Rightarrow OK\perp (SBC)$

$\Rightarrow OK = d(O;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$SO.OM = SM.OK = 2S_{SOM}$

$\Rightarrow OK = \dfrac{SO.OM}{SM} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{11}}{2}.\dfrac{a}{2}}{a\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt{33}}{12}$

Mặt khác:

$AD//BC$

$\Rightarrow AD//(SBC)$

$\Rightarrow d(A;(SBC)) = d(N;(SBC))$

Kẻ $NH \perp SM$

$\Rightarrow NH//OK \,(\perp SM)$

$\Rightarrow NH \perp (SBC)$

$\Rightarrow NH =  d(N;(SBC))$

Ta có: $NH//OK$

$OM = ON$

$\Rightarrow OK = \dfrac{1}{2}NH$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow NH = 2OK = \dfrac{a\sqrt{33}}{6}$

Vậy $d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{33}}{6}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: