cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA . Gọi O là điểm bất kì trên mặt đáy ABCD . biết thể tích khối chóp OMNPQ bằng V .Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp án:

\({V_{S.ABCD}} = {{27V} \over 2}\)

Giải thích các bước giải:

Dễ dàng chứng minh (MNPQ) // (ABCD)

Trong (SAB) qua M kẻ A'B' //AB (A' thuộc SA, B' thuộc SB)

Trong (SBC) qua N kẻ B'C' //BC (C' thuộc SC)

Trong (SCD) qua P kẻ C'D' //CD (D' thuộc SD)

Ta có:

\(\eqalign{ & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}{S_{A'B'C'D'}} \cr & {S_{A'B'C'D'}} = {4 \over 9}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = {2 \over 9}{S_{ABCD}} \cr} \)

Gọi O' là giao điểm của SO và (ABCD), áp dụng định lí Ta-lét ta có: SO/OO'=3

Vậy

\(\eqalign{ & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}{S_{A'B'C'D'}} \cr & {S_{A'B'C'D'}} = {4 \over 9}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = {2 \over 9}{S_{ABCD}} \cr & {{{V_{O.MNPQ}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{OO'} \over {SO}}.{{{S_{MNPQ}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {1 \over 3}.{2 \over 9} = {2 \over {27}} \cr & \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = {{27V} \over 2} \cr} \)