Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H của AB góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC)bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)

Đáp án:

$d(H;(SCD))= \dfrac{a\sqrt{285}}{19}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$HA = HB =\dfrac12AB = \dfrac a2$

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle HBC$ vuông tại $B$ ta được:

$\quad HC^2 = HB^2 + BC^2$

$\Rightarrow HC =\sqrt{HB^2 + BC^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2}$

$\Rightarrow HC =\dfrac{a\sqrt5}{2}$

Ta lại có:

$SH\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow HC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCH}= 60^\circ$

$\Rightarrow SH = HC.\tan\widehat{SCH}= \dfrac{a\sqrt5}{2}\cdot \tan60^\circ$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow HM//BC//AD;\ HM = BC = AD = a$

$\Rightarrow HM\perp CD$

Khi đó:

$\begin{cases}HM\perp CD\quad (cmt)\\SH\perp CD\quad (SH\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow CD\perp (SHM)$

Trong $mp(SHM)$ kẻ $HK\perp SM$

$\Rightarrow CD\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SCD)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$

$\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HM}{\sqrt{SH^2 + HM^2}}$

$\Rightarrow HK =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\cdot a}{\sqrt{\dfrac{15a^2}{4} + a^2}}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{a\sqrt{285}}{19}$

Vậy $d(H;(SCD))= \dfrac{a\sqrt{285}}{19}$