Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB=2a,AD=2a√3 ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) .Gọi H,K lần lượt là trung điểm AB và CD. 1)Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SHKC. 2)Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (Em cần gấp ạ😍)

$1)\quad$ Xét $\triangle SAB$ đều cạnh $a$ có:

$H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}HA = HB = \dfrac12AB =a\\SH\perp AB\\SH = a\sqrt3\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SH\perp AB\quad (cmt)\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SH \perp HC$

$\Rightarrow \triangle SHC$ vuông tại $H$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$SC^2 = SH^2 +HC^2$

$\qquad = SH^2 + HB^2 + BC^2$

$\qquad = \left(a\sqrt3\right)^2 + a^2 + \left(2a\sqrt3\right)^2$

$\qquad = 16a^2$

$\Rightarrow SC = 4a$

Gọi $I$ là trung điểm $SC$

$\Rightarrow IS = IC = IH = \dfrac12SC =2a\qquad (1)$

Mặt khác:

$HK$ là đường trung bình của $ABCD$

$\Rightarrow HK//BC//AD$

$\Rightarrow CD\perp HK$

Lại có: $SH\perp CD\quad (SH\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CD\perp (SHK)$

$\Rightarrow CD\perp SK$

$\Rightarrow \triangle SKC$ vuông tại $K$

mà $I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$

nên $IS = IC = IK = \dfrac12SC = 2a\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.HKC$, bán kính $R = \dfrac12SC = 2a$

Khi đó, thể tích mặt cầu:

$V = \dfrac43\pi R^3$

$\quad = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(2a\right)^3$

$\quad = \dfrac{32\pi a^3}{3}$

$2)\quad$ Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AB\\SH\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow HK\perp (SAB)$

Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle SAB$

$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle SAB$

$\Rightarrow SA = SB = SC = \dfrac23SH = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$

Từ $G$ kẻ đường thẳng $d\perp (SAB)$

$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp $S.ABC$

$\Rightarrow d//HK$

Trong $mp(SHK),\ d$ cắt $SK$ tại $P$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow MB = MC = \dfrac12BC = a\sqrt3$

Trong $mp(BCPG)$, đường trung trực của $BC$ cắt $d$ tại $J$

$\Rightarrow J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABC$

Ta có:

$\begin{cases}BC\perp BG\quad (BC\perp (SAB))\\BC\perp JM\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$

$\Rightarrow JM//BG$

Lại có: $GJ//BM\quad (d//BC)$

Do đó: $BMJG$ là hình bình hành

$\Rightarrow GJ = BM = a\sqrt3$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$R^2 = JB^2 = GJ^2 + BG^2$

$\quad = \left(a\sqrt3\right)^2 + \left(\dfrac{2a\sqrt3}{3}\right)^2$

$\quad = \dfrac{13a^2}{3}$

Khi đó, diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2$

$\quad = 4\cdot \pi\cdot \dfrac{13a^2}{3}$

$\quad = \dfrac{52\pi a^2}{3}$