Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD=2a√5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60º. Tính a theo thể tích của khối chóp S.ABCD

Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{2a^3\sqrt[]{15}}{3}$ $(đvtt)$

Giải thích các bước giải:

Vì $M$ là trung điểm của $AB$, mà $ΔSAB$ cân tại $S$

$→ SM⊥AB$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}(SAB)⊥(ABCD)\\(SAB)∩(ABCD)=AB\end{array} \right. → SM⊥(ABCD)$

Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $M$

Hình chiếu của $C$ lên $(ABCD)$ là $C$

→ Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCM}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC⊥AB\\BC⊥SM\end{array} \right. → BC⊥(SAB) $

$→ BC⊥SB$

Chứng minh tương tự, ta cũng có $AD⊥SA$

Xét $ΔSBC$ và $ΔSAD$ có:

$SA=SB $

$\widehat{SBC}=\widehat{SAD}=90^o$

$BC=AD$

$→ ΔSBC=ΔSAD$ (c-g-c)

$→ SC=SD$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $ΔSMC$ vuông có:

$SM=SC.\text{sin}\widehat{SCM}$

$=2a\sqrt[]{5}.\text{sin}60^o$

$=2a\sqrt[]{5}.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$

$=\dfrac{a\sqrt[]{15}}{2}$

$MC=SC.\text{cos}\widehat{SCM}$

$=2a\sqrt[]{5}.\dfrac{1}{2}$

$=a\sqrt[]{5}$

Gọi độ dài cạnh hình vuông là $x$, ta có:

$MB=\dfrac{x}{2}$

$BC=x$

Áp dụng định lí $\text{Py-ta-go}$, ta có:

$MC^2=MB^2+BC^2$

$↔ 5a^2=\dfrac{x^2}{4}+x^2$

$↔ \dfrac{x^2}{4}=a^2$

$→ \dfrac{x}{2}=a$

$↔ x=2a$

Diện tích đáy là:

$V_{ABCD}=x^2=(2a)^2=4a^2$ $(đvdt)$

Thể tích khối chóp là:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SM$

$=\dfrac{1}{3}.4a^2.\dfrac{a\sqrt[]{15}}{2}$

$=\dfrac{2a^3\sqrt[]{15}}{3}$ $(đvtt)$