cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O ,cạnh bên SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy 1 góc 60 độ.Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) Giúp mình với.....

Ta có: $SA\perp (ABCD)$ $(gt)$

$\Rightarrow SA\perp CB$

mà $CB\perp AB$

$\Rightarrow CB\perp (SAB)$

$\Rightarrow CB\perp SB$

Ta có:

$(SCB)\cap (ABCD) = CB$

$SC\perp CB$

$AB\perp CB$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))} = \widehat{SBA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AB.\tan60^o = a\sqrt3$

Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AD$ tại $M$

$\Rightarrow AM = MD = \dfrac{a}{2}$ (theo tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow OM//(SCD)$

$\Rightarrow d(O;(SCD)) = d(M;(SCD))$

Từ $M$ kẻ $MH\perp SD \, (H\in SD)$

Ta có: $SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow CD\perp MH$

mà $MH\perp SD$ (cách dựng)

nên $MH\perp (SCD)$

$\Rightarrow MH = d(M;(SCD))$

Ta có: $∆DSA \sim ∆DMH \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{SA}{MH} = \dfrac{SD}{DM}$

$\Rightarrow MH = \dfrac{SA.DM}{SD} = \dfrac{SA.DM}{\sqrt{SA^2 + AD^2}} = \dfrac{a\sqrt3.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{3a^2 + a^2}} = \dfrac{\dfrac{a^2\sqrt3}{2}}{2a} = \dfrac{a\sqrt3}{4}$

Ta có:

$BC⊥AB, BC⊥SA → BC⊥(SAB) → BC⊥SB$

$(SBC)∩(ABCD)=BC$

$→ \widehat{(SBC),(ABCD)}=\widehat{SBA}=60^o$

$→ SA=AB.tan60^o=a\sqrt[]{3}$

$d(O,(SCD))=\dfrac{1}{2}d(A,(SCD))$

Từ $A$ kẻ $AH⊥SD$, ta có:

$CD⊥AD, CD⊥SA → CD⊥(SAD) → CD⊥AH$

Mà $AH⊥SD → AH⊥(SCD)$ hay $d(A,(SCD))=AH$

Xét $ΔSAD$ vuông có:

$AH=\dfrac{SA.AD}{\sqrt[]{SA^2+AD^2}}$

$=\dfrac{a\sqrt[]{3}.a}{\sqrt[]{3a^2+a^2}}$

$=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến $(SCD)$ bằng $\dfrac{a\sqrt[]{3}}{4}$.