cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa mãn AH=2HB, trung điểm SH là điểm E. Tính theo a thể tích V của khối chóp SECD

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Diện tích đáy của khối chóp S.ABCD là SABCD=a2 .
Vì (SAB)⊥(ABCD) , (SAB)∩(ABCD)=AB và SH⊥AB nên SH⊥(ABCD) . Suy ra SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD .
Xét tam giác SAB vuông tại S , chiều cao SH ta có:
SH2 =HA.HB =2a3.a3 =2a29 ⇒SH=a2√3 .
Vậy V=13SABCD.SH =13.a2.a2√3 =a32√9 .

Đáp án:

$V = \dfrac{a^3\sqrt2}{36}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$AH = 2HB\quad (gt)$

$\Rightarrow \begin{cases}AH = \dfrac23AB = \dfrac{2a}{3}\\HB = \dfrac13AB = \dfrac{a}{3}\end{cases}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAB$ vuông tại $A$, đường cao $SH$ ta được:

$\quad SH^2 = AH.HB = \dfrac{2a}{3}\cdot \dfrac{a}{3} = \dfrac{2a^2}{9}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt2}{3}$

Khi đó:

$\quad V_{S.HCD} = \dfrac13S_{HCD}.SH = \dfrac13\cdot \dfrac12AD\cdot CD\cdot SH$

$\Leftrightarrow V_{S.HCD} = \dfrac16\cdot a\cdot a\cdot \dfrac{a\sqrt2}{3} = \dfrac{a^3\sqrt2}{18}$

Ta lại có: $SE = \dfrac12SH$

$\Rightarrow V_{S.ECD} = \dfrac12V_{S.HCD} = \dfrac{a^3\sqrt2}{36}$