Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng nhau và bằng 2a. a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Tính thể tích khối nón có đỉnh trùng với đỉnh của hình chóp và đáy của khối nón nội tiếp trong đáy của hình chóp S.ABCD.

Đáp án:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\\b)\,\,\dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

a) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O.

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\) .

\({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).

b) Hình vuông ABCD cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \dfrac{a}{2}\).

Do đó hình nón có bán kính đáy \(r = \dfrac{a}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\).